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      2. 「泛函分析与最优化理论 亚马逊」2017 新披露 :平台都用贝叶斯算法

        「泛函分析与最优化理论 亚马逊」

        一、病人分类的例子

          让我从一个例子开始讲起,你会看到贝叶斯分类器很好懂,一点都不难。

          某个医院早上收了六个门诊病人,如下表。

          症状  职业   疾病

          打喷嚏 护士   感冒
          打喷嚏 农夫   过敏
          头痛  建筑工人 脑震荡
          头痛  建筑工人 感冒
          打喷嚏 教师   感冒
          头痛  教师   脑震荡

          现在又来了第七个病人,是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大?

          根据贝叶斯定理:

         P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

          可得

           P(感冒|打喷嚏x建筑工人)
            = P(打喷嚏x建筑工人|感冒) x P(感冒)
            / P(打喷嚏x建筑工人)

          假定”打喷嚏”和”建筑工人”这两个特征是独立的,因此,上面的等式就变成了

           P(感冒|打喷嚏x建筑工人)
            = P(打喷嚏|感冒) x P(建筑工人|感冒) x P(感冒)
            / P(打喷嚏) x P(建筑工人)

          这是可以计算的。

          P(感冒|打喷嚏x建筑工人)
            = 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33
            = 0.66

          因此,这个打喷嚏的建筑工人,有66%的概率是得了感冒。同理,可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率,就可以知道他最可能得什么病。

          这就是贝叶斯分类器的基本方法:在统计资料的基础上,依据某些特征,计算各个类别的概率,从而实现分类。

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        二、朴素贝叶斯分类器的公式

          假设某个体有n项特征(Feature),分别为F1、F2、…、Fn。现有m个类别(Category),分别为C1、C2、…、Cm。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类,也就是求下面这个算式的最大值:

         P(C|F1F2…Fn)
          = P(F1F2…Fn|C)P(C) / P(F1F2…Fn)

          由于 P(F1F2…Fn) 对于所有的类别都是相同的,可以省略,问题就变成了求

         P(F1F2…Fn|C)P(C)

          的最大值。

          朴素贝叶斯分类器则是更进一步,假设所有特征都彼此独立,因此

         P(F1F2…Fn|C)P(C)
          = P(F1|C)P(F2|C) … P(Fn|C)P(C)

          上式等号右边的每一项,都可以从统计资料中得到,由此就可以计算出每个类别对应的概率,从而找出最大概率的那个类。

          虽然”所有特征彼此独立”这个假设,在现实中不太可能成立,但是它可以大大简化计算,而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。

          下面再通过两个例子,来看如何使用朴素贝叶斯分类器。

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        三、账号分类的例子

          本例摘自张洋的《算法杂货铺—-分类算法之朴素贝叶斯分类》。

          根据某社区网站的抽样统计,该站10000个账号中有89%为真实账号(设为C0),11%为虚假账号(设为C1)。

          C0 = 0.89

          C1 = 0.11

          接下来,就要用统计资料判断一个账号的真实性。假定某一个账号有以下三个特征:

            F1: 日志数量/注册天数
            F2: 好友数量/注册天数
            F3: 是否使用真实头像(真实头像为1,非真实头像为0)

            F1 = 0.1
            F2 = 0.2
            F3 = 0

          请问该账号是真实账号还是虚假账号?

          方法是使用朴素贝叶斯分类器,计算下面这个计算式的值。

            P(F1|C)P(F2|C)P(F3|C)P(C)

          虽然上面这些值可以从统计资料得到,但是这里有一个问题:F1和F2是连续变量,不适宜按照某个特定值计算概率。

          一个技巧是将连续值变为离散值,计算区间的概率。比如将F1分解成[0, 0.05]、(0.05, 0.2)、[0.2, +∞]三个区间,然后计算每个区间的概率。在我们这个例子中,F1等于0.1,落在第二个区间,所以计算的时候,就使用第二个区间的发生概率。

          根据统计资料,可得:

          P(F1|C0) = 0.5, P(F1|C1) = 0.1
          P(F2|C0) = 0.7, P(F2|C1) = 0.2
          P(F3|C0) = 0.2, P(F3|C1) = 0.9

        因此,

          P(F1|C0) P(F2|C0) P(F3|C0) P(C0)
            = 0.5 x 0.7 x 0.2 x 0.89
            = 0.0623

          P(F1|C1) P(F2|C1) P(F3|C1) P(C1)
            = 0.1 x 0.2 x 0.9 x 0.11
            = 0.00198

          可以看到,虽然这个用户没有使用真实头像,但是他是真实账号的概率,比虚假账号高出30多倍,因此判断这个账号为真。

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        四、性别分类的例子

          本例摘自维基百科,关于处理连续变量的另一种方法。

          下面是一组人类身体特征的统计资料。

          性别  身高(英尺) 

        体重(磅)  脚掌(英寸)

          男    6       180     12
          男    5.92     190     11
          男    5.58     170     12
          男    5.92     165     10
          女    5       100     6
          女    5.5      150     8
          女    5.42     130     7
          女    5.75     150     9

          已知某人身高6英尺、体重130磅,脚掌8英寸,请问该人是男是女?

          根据朴素贝叶斯分类器,计算下面这个式子的值。

        P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)

          这里的困难在于,由于身高、体重、脚掌都是连续变量,不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少,所以也无法分成区间计算。怎么办?

          这时,可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布,通过样本计算出均值和方差,也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数,就可以把值代入,算出某一点的密度函数的值。

          比如,男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以,男性的身高为6英尺的概率的相对值等于1.5789(大于1并没有关系,因为这里是密度函数的值,只用来反映各个值的相对可能性)。

          有了这些数据以后,就可以计算性别的分类了。

          P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男)
            = 6.1984 x e-9

          P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女)
            = 5.3778 x e-4

          可以看到,女性的概率比男性要高出将近10000倍,所以判断该人为女性。

        「泛函分析与最优化理论 亚马逊」 本文标题:「泛函分析与最优化理论 亚马逊」2017 新披露 :平台都用贝叶斯算法

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